Ticket initial publié le 17/02/2011 sur le blog
2) – Notions de taux
Suite
2.4.2) – Quelques exemples
=> Taux nominal proportionnel = 4,20%
+ Taux actuariel si :
++ Echéances mensuelles…= 4,2818%
++ Echéances trimestrielles…= 4,2666%
++ Echéances semestrielles…= 4,2441%
++ Echéances annuelles…= 4,2000%
++ Echéances tous les 2 ans.= 4,1153%
2.4.3) – Conversion d’un taux proportionnel en taux actuariel et inversement
Pour cela il est nécessaire de faire un peu de mathématiques financières
2.4.3.1) – Notion de « Taux Equivalent »
En 2.2) – Ci- dessus il a été expliqué ce qu’est un taux périodique soit :
+ Si taux de 4,20% et échéances mensuelles
=> « Taux périodique mensuel » = 4,20%/12 = 0,35%
+ Le « Taux équivalent » est celui qui donnera exactement le même résultat mais non plus à partir du taux nominal proportionnel mais à partir du taux nominal actuariel
Si l’on désigne par
+ « Tep » le Taux Equivalent périodique,
+ « Ta » le taux annuel (« Ta » est à la fois « proportionnel » et « actuariel » puisque l’on a vu ci-dessus que ces taux sont égaux si la périodicité est annuelle)
+ « Nv » le nombre de versement dans une année
=> L’équation de conversion est la suivante :
+ (1 + Ta) = (1 + Tep) ^ (Nv)
D’où
+ (1 + Tep) = (1 + Ta) ^ (1/Nv)
Et
=> Tep = [((1 + Ta) ^ (1/Nv)) – 1]
Reprenons le taux actuariel ci-dessus calculé pour un prêt au taux nominal proportionnel de 4,20% :
+ Taux actuariel si :
++ Echéances mensuelles…= 4,2818% = 0,042818
et appliquons le dans l’équation ci-dessus
=> Tep = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
=> Tep = 0,0035 = 0,35%
La preuve est donc faite que le « taux périodique » issu du « Taux Nominal Proportionnel » est égal au « Taux Equivalent périodique » issu du « Taux Nominal Actuariel »
Dans l’exemple ci-dessus, le « Taux périodique mensuel » issu du « Taux Nominal Proportionnel » de 4,20% est égal au « Taux Equivalent mensuel » issu du « Taux Nominal Actuariel » de 4,2818%
Ceci est important à retenir
En effet les calculs d’échéances des prêts se font à partir de ces taux périodiques via la formule :
E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
Où
+ « E » est l‘échéance à calculer
+ « C » est le capital emprunté
+ « Taux » est égal au « Taux périodique » ou au « Taux équivalent »
+ « N » le nombre d’échéances pendant toute la vie du prêt.
Exemple 1
+ Capital 100.000 €
+ Taux nominal proportionnel = 4,20%
+ Nombre échéances = 240 mensualités
=> Taux périodique mensuel = 4,20% / 12 = 0,35% = 0,0035
=> Calcul de l’échéance
+ E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
+ E = 100.000 x 0,0035 / [1 – (1,0035 ^ (-240))] = 616,57 €
Exemple 2
+ Capital 100.000 €
+ Taux nominal actuariel = 4,2818%
+ Nombre échéances = 240 mensualités
=> Taux = Tep = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
=> Taux = Tep = 0,0035 = 0,35%
=> Calcul de l’échéance
+ E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
+ E = 100.000 x 0,0035 / [1 – (1,0035 ^ (-240))] = 616,57 €
Ainsi quand il s’agit de prêts d’épargne logement par exemple où les taux sont exprimés en taux nominaux actuariels, pour calculer les bonnes échéances il faut soit :
=> Transformer ce taux actuariel en taux proportionnel (voir ci-dessous) et calculer le taux périodique
=> Calculer directement le taux Equivalent ainsi qu’expliqué ci-dessus.
2.4.3.2) – Remarque :
Le Taux Equivalent (= Taux Périodique) peut être calculé directement à partir de l’échéance du prêt au moyen de l’Equation de base ci-dessous qui est utilisables tant pour des échéances constantes que variables.
C = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
Pour des prêts à échéances constantes (uniquement), la réduction de cette équation donne la formule ci-dessus utilisée :
E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
Le taux périodique recherché est le « Tep » qui permet l’égalisation des deux termes de cette équation
Appliqué à l’exemple ci-dessus l’on obtient :
100.000 = 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-1) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-2)….+ 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-239) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-240)
=> Tep = 0, 0035 = 0, 35%
2.4.3.3) – Conversion Taux proportionnel en Taux actuariel
=> Taux nominal Proportionnel = 4,20%
=> Echéances mensuelles (= 12 par an)
=> Taux périodique mensuel = 4,20% / 12 = 0,35% = 0,0035
=> Taux actuariel :
+ (1 + Ta) = (1 + Tep) ^ (Nv)
+ Ta = [(1 + Tep) ^ (Nv) – 1]
+ Ta = [(1,0035 ^ 12) – 1] = 0,042818 = 4,2818%
2.4.3.4) – Conversion Taux actuariel en Taux proportionnel
=> Taux nominal Actuariel = 4,2818%
=> Echéances mensuelles (= 12 par an)
=> Taux Equivalent mensuel (Tem)
+ Tem = [((1 + Ta) ^ (1/Nv)) – 1]
+ Tem = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
+ Tem = 0,0035 = 0,35%
=> Taux proportionnel = 0,35% x 12 = 4,20%
=> Taux Périodique / Taux Equivalent = 0,3500%
=> Taux Nominal / Facial
+ Proportionnel……………………………………= 4,2000%
+ Actuariel…………………………………………..= 4,2818%
3) – Les taux dans un crédit unique amortissable
Supposons désormais que le prêt de 100.000 €, au taux nominal proportionnel de 4,20%, remboursable en 240 mensualités 616,57 € soit prévu avec frais de dossier de 1.000 € retenus à la mise à disposition des fonds.
Nous allons désormais pouvoir aborder les notions de :
+ Taux périodique effectif
+ Taux Effectif Global (TEG) (***)
+ Taux Effectif Annuel Global (TAEG) désigné par « TEG » en droit français jusqu’au 30 avril 2011 et TAEG à partir du 1er mai 2011. (***)
+ Taux moyen
(***) Le Taux Effectif Global (TEG) concerne les prêts professionnels et les prêts immobiliers.
Le Taux annuel Effectif Global (TAEG) concerne les prêts à la consommation et assimilés.
Sont assimilés à des prêts à la consommation :
+ Les prêts pour travaux immobiliers (sans garantie hypothécaire) dont le montant des dépenses – et non pas montant du prêt – est au plus égal à 21.500 € jusqu’au 30 avril 2011.
+ Les crédits pour travaux immobiliers (quelle que soit la garantie) dont le montant du prêt (et non plus des dépenses) est au plus égal à 75.000 € à partir du 1er mai 2011.
3.1) – Le taux effectif périodique
Ce taux est le pendant du « Taux Equivalent » traité au 2.3.3.1 et 2.3.3.2 ci-dessus mais applicable au calcul du « Taux Effectif Global « (TEG)
Au 2.3.3.2 il a été dit que l’équation de base pour le calcul du « Taux Equivalent Périodique » était :
C = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
C’est cette même équation qui est aussi utilisée pour le calcul du « Taux Périodique Effectif » sauf que le calcul ne se fait plus par rapport au capital emprunté « C » ( = le nominal) mais par rapport au « Net versé », c’est-à-dire ce capital « C » moins les frais pris au départ :
(C – F) = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…..+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
« F » étant le montant des frais pris au départ
A noter que, pour le calcul de ce « Taux Périodique Effectif » et donc du TEG, au niveau des échéances en capital et intérêts, il convient d’ajouter les éventuelles primes d’assurances obligatoires et autres éventuels frais imposés par échéance.
Appliqué à l’exemple ci-dessus proposé, cette équation devient :
(100.000 – 1.000) = 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-1) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-2)….+ 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-239) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-240)
=> Tep = 0, 0035972628 = 0, 35972628%
3.2) – Le Taux Effectif Global (TEG)
En simplifiant (***), pour un prêt à échéances mensuelles, le TEG sera égal au « Taux Périodique Effectif » multiplié par 12 soit
TEG = 0, 35972628% x12 =4,3167%
(***) Les lois et règlements concernant le calcul de ce TEG sont sujets à interprétations et les pratiques bancaires sont quelquefois remises en cause dans des décisions de justice.
A toutes fins utiles les échanges sur le forum « Les TEG sont inexactement affichés » peuvent être consultés.
Ensemble des échanges :
https ://www.cbanque.com/forum/showthread.php ?8055-Les-TEG-sont-inexactement-affichés&p=57940&viewfull=1#post57940 [lien réservé abonné]
Résumé :
https ://www.cbanque.com/forum/showthread.php ?8055-Les-TEG-sont-inexactement-affichés&p=114581&viewfull=1#post114581 [lien réservé abonné]
Voir la suite 3ème partie
2) – Notions de taux
Suite
2.4.2) – Quelques exemples
=> Taux nominal proportionnel = 4,20%
+ Taux actuariel si :
++ Echéances mensuelles…= 4,2818%
++ Echéances trimestrielles…= 4,2666%
++ Echéances semestrielles…= 4,2441%
++ Echéances annuelles…= 4,2000%
++ Echéances tous les 2 ans.= 4,1153%
2.4.3) – Conversion d’un taux proportionnel en taux actuariel et inversement
Pour cela il est nécessaire de faire un peu de mathématiques financières
2.4.3.1) – Notion de « Taux Equivalent »
En 2.2) – Ci- dessus il a été expliqué ce qu’est un taux périodique soit :
+ Si taux de 4,20% et échéances mensuelles
=> « Taux périodique mensuel » = 4,20%/12 = 0,35%
+ Le « Taux équivalent » est celui qui donnera exactement le même résultat mais non plus à partir du taux nominal proportionnel mais à partir du taux nominal actuariel
Si l’on désigne par
+ « Tep » le Taux Equivalent périodique,
+ « Ta » le taux annuel (« Ta » est à la fois « proportionnel » et « actuariel » puisque l’on a vu ci-dessus que ces taux sont égaux si la périodicité est annuelle)
+ « Nv » le nombre de versement dans une année
=> L’équation de conversion est la suivante :
+ (1 + Ta) = (1 + Tep) ^ (Nv)
D’où
+ (1 + Tep) = (1 + Ta) ^ (1/Nv)
Et
=> Tep = [((1 + Ta) ^ (1/Nv)) – 1]
Reprenons le taux actuariel ci-dessus calculé pour un prêt au taux nominal proportionnel de 4,20% :
+ Taux actuariel si :
++ Echéances mensuelles…= 4,2818% = 0,042818
et appliquons le dans l’équation ci-dessus
=> Tep = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
=> Tep = 0,0035 = 0,35%
La preuve est donc faite que le « taux périodique » issu du « Taux Nominal Proportionnel » est égal au « Taux Equivalent périodique » issu du « Taux Nominal Actuariel »
Dans l’exemple ci-dessus, le « Taux périodique mensuel » issu du « Taux Nominal Proportionnel » de 4,20% est égal au « Taux Equivalent mensuel » issu du « Taux Nominal Actuariel » de 4,2818%
Ceci est important à retenir
En effet les calculs d’échéances des prêts se font à partir de ces taux périodiques via la formule :
E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
Où
+ « E » est l‘échéance à calculer
+ « C » est le capital emprunté
+ « Taux » est égal au « Taux périodique » ou au « Taux équivalent »
+ « N » le nombre d’échéances pendant toute la vie du prêt.
Exemple 1
+ Capital 100.000 €
+ Taux nominal proportionnel = 4,20%
+ Nombre échéances = 240 mensualités
=> Taux périodique mensuel = 4,20% / 12 = 0,35% = 0,0035
=> Calcul de l’échéance
+ E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
+ E = 100.000 x 0,0035 / [1 – (1,0035 ^ (-240))] = 616,57 €
Exemple 2
+ Capital 100.000 €
+ Taux nominal actuariel = 4,2818%
+ Nombre échéances = 240 mensualités
=> Taux = Tep = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
=> Taux = Tep = 0,0035 = 0,35%
=> Calcul de l’échéance
+ E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
+ E = 100.000 x 0,0035 / [1 – (1,0035 ^ (-240))] = 616,57 €
Ainsi quand il s’agit de prêts d’épargne logement par exemple où les taux sont exprimés en taux nominaux actuariels, pour calculer les bonnes échéances il faut soit :
=> Transformer ce taux actuariel en taux proportionnel (voir ci-dessous) et calculer le taux périodique
=> Calculer directement le taux Equivalent ainsi qu’expliqué ci-dessus.
2.4.3.2) – Remarque :
Le Taux Equivalent (= Taux Périodique) peut être calculé directement à partir de l’échéance du prêt au moyen de l’Equation de base ci-dessous qui est utilisables tant pour des échéances constantes que variables.
C = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
Pour des prêts à échéances constantes (uniquement), la réduction de cette équation donne la formule ci-dessus utilisée :
E = C x Taux / [1 – ((1 + Taux) ^ (-N))]
Le taux périodique recherché est le « Tep » qui permet l’égalisation des deux termes de cette équation
Appliqué à l’exemple ci-dessus l’on obtient :
100.000 = 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-1) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-2)….+ 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-239) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-240)
=> Tep = 0, 0035 = 0, 35%
2.4.3.3) – Conversion Taux proportionnel en Taux actuariel
=> Taux nominal Proportionnel = 4,20%
=> Echéances mensuelles (= 12 par an)
=> Taux périodique mensuel = 4,20% / 12 = 0,35% = 0,0035
=> Taux actuariel :
+ (1 + Ta) = (1 + Tep) ^ (Nv)
+ Ta = [(1 + Tep) ^ (Nv) – 1]
+ Ta = [(1,0035 ^ 12) – 1] = 0,042818 = 4,2818%
2.4.3.4) – Conversion Taux actuariel en Taux proportionnel
=> Taux nominal Actuariel = 4,2818%
=> Echéances mensuelles (= 12 par an)
=> Taux Equivalent mensuel (Tem)
+ Tem = [((1 + Ta) ^ (1/Nv)) – 1]
+ Tem = [((1 + 0,0042818) ^ (1/12)) – 1]
+ Tem = 0,0035 = 0,35%
=> Taux proportionnel = 0,35% x 12 = 4,20%
2.5) – Tableaux de synthèseCes conversions de taux peuvent être effectuées au moyen de l’applicatif suivant :
Conversion_Taux.zip [lien réservé abonné]
=> Taux Périodique / Taux Equivalent = 0,3500%
=> Taux Nominal / Facial
+ Proportionnel……………………………………= 4,2000%
+ Actuariel…………………………………………..= 4,2818%
3) – Les taux dans un crédit unique amortissable
Supposons désormais que le prêt de 100.000 €, au taux nominal proportionnel de 4,20%, remboursable en 240 mensualités 616,57 € soit prévu avec frais de dossier de 1.000 € retenus à la mise à disposition des fonds.
Nous allons désormais pouvoir aborder les notions de :
+ Taux périodique effectif
+ Taux Effectif Global (TEG) (***)
+ Taux Effectif Annuel Global (TAEG) désigné par « TEG » en droit français jusqu’au 30 avril 2011 et TAEG à partir du 1er mai 2011. (***)
+ Taux moyen
(***) Le Taux Effectif Global (TEG) concerne les prêts professionnels et les prêts immobiliers.
Le Taux annuel Effectif Global (TAEG) concerne les prêts à la consommation et assimilés.
Sont assimilés à des prêts à la consommation :
+ Les prêts pour travaux immobiliers (sans garantie hypothécaire) dont le montant des dépenses – et non pas montant du prêt – est au plus égal à 21.500 € jusqu’au 30 avril 2011.
+ Les crédits pour travaux immobiliers (quelle que soit la garantie) dont le montant du prêt (et non plus des dépenses) est au plus égal à 75.000 € à partir du 1er mai 2011.
3.1) – Le taux effectif périodique
Ce taux est le pendant du « Taux Equivalent » traité au 2.3.3.1 et 2.3.3.2 ci-dessus mais applicable au calcul du « Taux Effectif Global « (TEG)
Au 2.3.3.2 il a été dit que l’équation de base pour le calcul du « Taux Equivalent Périodique » était :
C = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
C’est cette même équation qui est aussi utilisée pour le calcul du « Taux Périodique Effectif » sauf que le calcul ne se fait plus par rapport au capital emprunté « C » ( = le nominal) mais par rapport au « Net versé », c’est-à-dire ce capital « C » moins les frais pris au départ :
(C – F) = E1 (1+ Tep) ^ (-1) + E2 (1+ Tep) ^ (-2) +…..+ EN-1 (1+ Tep) ^ (-(N-1)) + En (1+ Tep) ^ (-N)
« F » étant le montant des frais pris au départ
A noter que, pour le calcul de ce « Taux Périodique Effectif » et donc du TEG, au niveau des échéances en capital et intérêts, il convient d’ajouter les éventuelles primes d’assurances obligatoires et autres éventuels frais imposés par échéance.
Appliqué à l’exemple ci-dessus proposé, cette équation devient :
(100.000 – 1.000) = 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-1) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-2)….+ 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-239) + 616, 57 x (1 + Tep) ^ (-240)
=> Tep = 0, 0035972628 = 0, 35972628%
3.2) – Le Taux Effectif Global (TEG)
En simplifiant (***), pour un prêt à échéances mensuelles, le TEG sera égal au « Taux Périodique Effectif » multiplié par 12 soit
TEG = 0, 35972628% x12 =4,3167%
(***) Les lois et règlements concernant le calcul de ce TEG sont sujets à interprétations et les pratiques bancaires sont quelquefois remises en cause dans des décisions de justice.
A toutes fins utiles les échanges sur le forum « Les TEG sont inexactement affichés » peuvent être consultés.
Ensemble des échanges :
https ://www.cbanque.com/forum/showthread.php ?8055-Les-TEG-sont-inexactement-affichés&p=57940&viewfull=1#post57940 [lien réservé abonné]
Résumé :
https ://www.cbanque.com/forum/showthread.php ?8055-Les-TEG-sont-inexactement-affichés&p=114581&viewfull=1#post114581 [lien réservé abonné]
Voir la suite 3ème partie
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