Bonjour,
En partant du postulat que – quel que soit le profil d’amortissement – les intérêts compris dans les échéances d’un prêt sont correctement calculés :
=> Quelle est donc la bonne méthode pour vérifier que le taux nominal proportionnel contractuel est bien respecté ?
NB) – Les développements ci-dessous ne concernent pas les prêts avec un première échéances brisée (= majorée ou minorée).
Dans ce cas il convient de se reporter aux échanges suivants :
Taux débiteur erroné ; contrôle et sanction
L’on sait que, en l’absence de tout frais ou charges autres que les seuls dits intérêts, le « Taux de Rendement Interne » (= TRI) utilisé pour calculer le Taux Effectif Global (TEG proportionnel) :
=> Est censé retrouver le bon taux nominal proportionnel contractuel si les échéances sont constantes et avec une périodicité régulière.
=> Mais est-ce également le cas si les échéances sont variables (= progressivité et/ou dégressivité régulière ou non des échéances – Paliers d’échéances progressifs ou/et dégressifs) et/ou si la périodicité est irrégulière (= profil d’amortissement « apériodique ») ?
Qu’en est-il exactement ?
=> Le premier tableau Excel joint :
« Taux proportionnel – Incidence profil amortissement ».
permettra de répondre à cette première question.
Par ailleurs l’on sait aussi que le montant des intérêts compris dans une échéance (en capital et intérêts et/ou en intérêts seuls) est (légèrement) modifié suivant la méthode d’arrondis utilisée.
Aussi pour tenter de répondre aux deux questions suivantes :
=> Dans l’absolu, et quel que soit le profil d’amortissement des prêts considérés,
+ Quelle est la meilleure méthode d’arrondis pour arriver à un strict respect du taux nominal proportionnel contractuel ?
+ Quelle est la méthode de calcul la plus pertinente pour vérifier si le taux réellement appliqué ne dépasse pas ledit taux nominal proportionnel contractuel ?
=> Le second tableau Excel joint :
« Taux Proportionnel – Quel est le bon calcul ? »
permettra de répondre à ces deux autres questions.
Avec ces objectifs j’ai imaginé le cas d’école suivant :
+ Prêt de 100.000 € à échéances constantes (= 876,04 €) amortissable en 120 mois au taux nominal proportionnel de 1%.
+ Prêt de 100.000 € amortissable en 120 mois au taux nominal proportionnel de 1% avec deux paliers d’échéances progressifs :
++ 500 € pendant 60 mois
++ 1.271,35 € pendant 60 mois (***)
+ Prêt de 100.000 € amortissable en 120 mois au taux nominal proportionnel de 1% avec deux paliers d’échéances dégressifs :
++ 1.271,35 € pendant 60 mois
++ 460,47 € pendant 60 mois (***)
(***) Sauf dernière échéance pour ajustement.
I) – Quelle est l’incidence du profil d’amortissement ?
Intéressons nous d’abord au premier fichier Excel joint :
« Taux proportionnel – Incidence profil amortissement ».
Mais, avant de regarder – dans chaque cas considéré – les impacts sur le taux nominal proportionnel qui est notre objectif, il semble très utile de voir ce qu’il en est sur le Taux Effectif Global (= TEG proportionnel car même type d’affichage que le taux du prêt = Taux de Rendement Interne « TRI »).
Pour ce faire le total des divers frais obligatoires à prévoir dans les cas d’école ci-dessus proposés est supposé de 10% du montant emprunté soit 10.000 € (frais surévalués pour bien marquer les impacts).
=> Premier constat sur le prêt à échéances constantes :
+ Ce TEG servira de base de comparaison avec les deux autres
+ Il ressort à 3,1679%
=> Deuxième constat sur le prêt à paliers d’échéances progressifs :
+ Le TEG ressort à 2,7605%
+ L’on constate donc que, toutes choses étant égales par ailleurs, le TEG d’un prêt à échéances progressives est inférieur à celui du même crédit à échéances constantes.
Ceci s’explique par le fait que, les échéances étant plus faibles au départ, la banque n’en tire qu’un moindre profit en les replaçant/reprêtant immédiatement.
Inversement, l’emprunteur dont les débours mensuels sont réduits à la possibilité de rentabiliser à son profit les différences sur les sommes payées
=> Troisième constat sur le prêt à paliers d’échéances dégressifs :
+ Le TEG ressort à 3,8484%
+ L’on constate donc que, toutes choses étant égales par ailleurs, le TEG d’un prêt à échéances dégressives est supérieur à celui du même crédit à échéances constantes ; à fortiori également supérieur au TEG du même crédit à échéances progressives.
Ceci s’explique par le fait que, les échéances étant plus élevées au départ, la banque accentue son profit en les replaçant/reprêtant immédiatement cependant que, inversement, l’emprunteur dont les débours mensuels sont plus élevés réduit ses possibilités de rentabiliser à son profit les différences sur les montants d’échéances payées à la banque.
=> En résumé = première conclusion partielle :
+ TEG échéances dégressives > TEG échéances constantes > TEG échéances progressives.
=> Regardons désormais ce qu’il en est au niveau du taux nominal proportionnel contractuel ce qui est, rappelons-le, l’objectif de ce billet.
L’on pourrait légitimement penser que les incidences constatées au niveau du TEG se retrouveraient, si non en chiffres absolus mais au moins en orientations, sur ledit Taux Nominal Proportionnel Contractuel
Or, toujours dans le même fichier Excel « Taux proportionnel – Incidence profil amortissement » nous pouvons constater que :
1) – Quel que soit le profil « Constant ou/et Progressif ou/et Dégressif » de l’échéancier d’amortissement le calcul du Taux de Rendement Interne « TRI » (= sans aucun frais autres que les intérêts) donne toujours – dans l’absolu – un taux nominal proportionnel inférieur (faible incidence = sur la 6è ou 7è décimale ; soit) à celui de 1% qui a servi au calcul des intérêts compris dans les échéances.
2) – Non seulement cela mais, toujours avec la même faible incidence relative :
+ Avec l’échéancier à mensualités progressives, le taux résultant du calcul est supérieur à celui des échéances constantes qui – lui-même – est supérieur à celui de l’échéancier au profil d’amortissement dégressif.
=> En résumé = deuxième conclusion partielle :
+ Taux Nominal proportionnel (=TRI) échéances progressives > Taux échéances constantes > Taux échéances dégressives.
=> Soit exactement l’inverse du constat ci-dessus rapporté pour le TEG
=> Conclusion concernant l’incidence du profil d’amortissement :
Dans l’absolu le Taux de Rendement Interne (TRI) n’est donc pas un calcul pertinent/fiable pour retrouver le taux nominal proportionnel qui a servi au calcul des intérêts compris dans les échéances.
II) – Quelles méthodes d’arrondis ?
J’en ai imaginé quatre :
1) – Aucun arrondi.
Il s’agit d’un cas d’école qui sert de référence.
Dans la pratique il va de soi que – au moins sur l’échéance qui correspond à un flux réel de sortie de trésorerie – un arrondi monétaire à deux décimales sera toujours indispensable.
2) – Arrondis monétaires à deux décimales au plus proche sur tous les montants = échéances, intérêts, amortissements et capital restant dû ; avec ajustement résiduel sur la dernière échéance.
3) – Arrondis monétaires à deux décimales au plus proche sur échéances seulement (= aucun arrondi sur intérêts, amortissements et capital restant dû) ; avec ajustement résiduel sur la dernière échéance.
4) – Arrondis monétaires à deux décimales au plus proche sur échéances et à l’inférieur sur les intérêts (= aucun arrondi sur amortissements et capital restant dû) ; avec ajustement résiduel sur la dernière échéance.
III) – Quelles méthodes de calculs ?
J’en ai utilisé cinq :
1) – Contrôle du taux réellement appliqué mois par mois (Voir colonnes « G » – « R » et « AC » dans les tableaux d’amortissement du fichier Excel joint).
2) – Moyenne simple de tous les taux calculés pour chaque mois (Voir cellules « G21 » – « R21 » et « AC21 » dans les tableaux d’amortissement du fichier Excel joint).
3) – Moyenne pondérée par les montants et durées de tous les taux calculés pour chaque mois (Voir cellules « H21 » – « S21 » et « AD21 » dans les tableaux d’amortissement du fichier Excel joint).
4) – Taux de Rendement Interne (TRI) = TEG sans aucun frais ni charges autres que les seuls intérêts (Voir cellules « I21 » – « T21 » et « AE21 » dans les tableaux d’amortissement du fichier Excel joint).
5) – Conversion en taux nominal proportionnel (TRI/TEG sans frais) du taux débiteur actuariel (=TAEG sans frais) issu de l’application du décret N° 2016-607 du 13 mai 2016 (Voir cellules « K21 » – « V21 » et « AG21 » dans les tableaux d’amortissement du fichier Excel joint).
IV) – Quelles conclusions tirer des simulations objet du second fichier Excel joint ?
« Taux Proportionnel – Quel est le bon calcul ? »
4 – 1) – En ce qui concerne les arrondis :
L’hypothèse « Sans arrondis » étant ignorée puisqu’elle sert juste de référence et n’existe pas en pratique l’on remarque que :
+ Dans les trois profils d’amortissement, c’est la « Simulation N° 3 – Arrondi monétaire à 2 décimales au plus proche sur l’échéance seulement » qui donne un résultat le plus proche de 1% et ce sans jamais le dépasser.
Dans ce cas, pour l’ajustement en fin de prêt, il est souvent nécessaire que la banque abandonne quelques dixièmes/centièmes d’euros.
Mais ce n’est pas une solution utopique car certaines banques pratiquent réellement ainsi.
+ Inversement, dans les trois profils d’amortissement, la « Simulation N° 2 – Arrondi monétaire à 2 décimales au plus proche sur les échéances, les intérêts, les amortissements et les soldes dus » donne souvent des résultats supérieurs au taux nominal contractuel.
Pourtant, en pratique, cette façon de faire se rencontre assez souvent.
+ Quant à la troisième hypothèse « Simulation N° 4 – Arrondi monétaire à 2 décimales au plus proche sur l’échéance et à l’inférieur sur les intérêts » ce serait celle qui – dans 100% des cas – permettrait de toujours rester en-deçà du taux nominal contractuel.
Mais pour l’ajustement en fin de prêt l’abandon d’intérêts par la banque serait plus important. (***)
Pour ce qui me concerne, en pratique, je n’ai jamais vu cette pratique utilisée.
=> Conclusion concernant la méthode d’arrondis la plus pertinente :
C’est donc la méthode N° 3 « Arrondi monétaire à 2 décimales au plus proche sur l’échéance seulement » qu’il conviendrait de retenir.
4 – 2) – En ce qui concerne la méthode de calcul :
L’on a déjà vu/démontré que le Taux de Rendement Interne (TRI) ne donne pas un résultat satisfaisant ; il convient donc de l’éviter.
Maintenant, si l’on observe le second tableau Excel « « Taux Proportionnel – Quel est le bon calcul ? » l’on remarque que deux critères affichent souvent le résultat exact soit le taux nominal proportionnel de 1% retenu pour ces cas d’école.
=> Ce sont :
+ La moyenne des taux proportionnels simple
Et /Ou
+ La moyenne des taux proportionnels pondérée par les montants et les durées.
Mais, du fait du mode d’arrondis choisi, quand ce n’est pas le cas l’on constate que c’est :
« La moyenne des taux proportionnels pondérée par les montants et les durées » qui s’approche le plus de la vérité ce qui semble d’ailleurs logique.
=> Conclusion concernant la méthode de calcul la plus pertinente :
C’est donc « La moyenne des taux proportionnels pondérée par les montants et les durées » qu’il convient de retenir.
A noter cependant qu’une autre méthode est indiquée par l’annexe au décret N° 2002-927 du 10 juin 2002 (JO du 11/06/2002 – page10359) :
« L’équation permet de calculer « i » (c’est à dire le taux) par des approximations successives, qui peuvent être programmées sur des calculatrices de poche »
Bien entendu ce peut tout aussi bien être ailleurs ce processus de recherche itérative étant très bien fait via la fonction « Valeur cible » de Excel par exemple.
Pour les emprunteurs qui savent l’utiliser elle est tout autant recommandée.
V) – Conclusion générale :
1) – Dans l’absolu, pour le calcul du taux nominal proportionnel, le taux de rendement Interne (TRI) n’est pas le critère le plus fiable/pertinent ; il est donc à exclure.
Mais, quand il s’agit de comparer des offres concurrentes, en valeurs relatives donc, ce critère reste parfaitement acceptable.
Toutes choses étant égales par ailleurs, avec cette même méthode appliquée aux cas en présence, même si en valeur absolue le taux qui en résulte n’est pas parfaitement exact, l’orientation restera bonne ; le taux le plus faible restera le plus faible et la même chose pour le taux le plus fort.
2) – L’arrondi monétaire à deux décimales au plus proche sur tous les éléments constitutifs du tableau d’amortissement peut conduire à un taux réellement appliqué supérieur au taux nominal proportionnel contractuel ; il est également à abandonner.
3) – La méthode d’arrondis la plus pertinente est l’arrondi monétaire à deux décimales au plus proche sur les échéances uniquement.
Il n’y a que ce paramètre qui génère un flux de sortie de trésorerie (= un paiement) ; les autres n’étant que des éléments de calculs et/ou constitutifs.
Pour un parfait ajustement, en fin de prêt, la banque est souvent obligée d’abandonner quelques dixièmes/centièmes d’euros mais c’est une pratique qui existe.
– En fait – dans les échéances avec une part d’amortissement – il existerait une autre méthode encore plus pertinente qui serait :
+ Aucun arrondi sur les intérêts, les amortissements et le capital restant dû.
+ Arrondi monétaire à deux décimales au plus proche sur les échéances jusqu’à l’avant dernière.
+ Sur la dernière échéance soit tronquage à deux décimales soit arrondi monétaire inférieur à deux décimales (le résultat serait le même).
=> Dans cette façon de faire :
+ Les intérêts, les amortissements et le capital restant du sont calculés au plus juste (avec toutes les décimales) sur toutes les échéances.
+ Le taux nominal proportionnel- dans 100% des échéances -n’est jamais dépassé.
+ Sur la dernière échéance :
-+- La partie amortissement avec toutes les décimales est forcée au capital restant dû avec toutes les décimales.
-+- La somme des amortissements donne strictement le montant du capital emprunté et donc désormais amorti.
-+- Ce capital restant dû revient donc strictement à zéro €
-+- Les intérêts de la dernière échéance conservent toutes les décimales
-+- La somme de la partie amortissement (avec toutes le décimales) et des intérêts (avec toutes les décimales) donne la dernière échéance théorique avec toutes les décimales.
=> Dès lors, ainsi qu’expliqué ci-dessus, cette dernière échéance est tronquée à deux décimales ou bien arrondie à l’inférieur à deux décimales.
=> Il en résultera alors un abandon de quelques centièmes/millièmes d’euros par la banque mais ce n’est pas interdit et – ainsi que déjà dit – c’est déjà pratiqué
Mais si l’échéancier prévoit un différé d’amortissement (= différé partiel = différé de capital) chaque fois que l’arrondi au plus proche entraîne en réalité un arrondi « au supérieur » (si 3è décimale > ou = 5) il sera nécessaire de pratiquer – sur ces intérêts différés – un arrondi à l’inférieur objet de la troisième hypothèse ci-dessus.
4) – Pour les échéanciers à taux unique, (###) la méthode de calcul/vérification du taux nominal proportionnel la plus fiable est la « Moyenne des taux proportionnels, calculés mois par mois, mais pondérée par les montants et les durées ».
(###) – Ce ne serait plus vrai pour les éventuels échéanciers spécifiques avec un taux d’ensemble fixé au contrat mais assorti de taux différenciés (progressifs – dégressifs – mixtes) dans le déroulé du tableau d’amortissement).
Ou, pour ceux qui savent l’utiliser, la fonction de recherche itérative « Valeur cible » de Excel ou autres fonctions similaires d’autres tableurs.
(***) Ci-dessous troisième fichier Excel « TA – Incidences arrondis » qui, sur un autre exemple chiffré, permet de visualiser l’incidence de la méthode d’arrondis.
Cdt
Edit :
Tout lecteur intéressé pourrait aussi prendre connaissance de ces nouveaux échanges dans ce post du forum public ouvert sur le sujet :
Taux débiteur erroné ; contrôle et sanction
Taux Proportionnel – Incidence profil amortissement
Taux Proportionnel – Quel est le bon calcul